Калькулятор объёма клина: площадь поверхности

Формулы объёма и площади поверхности клина

Объём клина вычисляется по формуле V = h × b / 6 × (2a + c). Здесь a — длина прямоугольного основания, b — его ширина, c — длина верхнего ребра, h — высота от основания до этого ребра. Верхнее ребро параллельно стороне a и короче неё — иначе тело перестаёт быть клином.

Для площади поверхности нужна высота наклонной трапеции: l = √(h² + b² / 4). Она больше высоты клина, потому что трапеция поднимается с наклоном. Боковая поверхность состоит из двух трапеций и двух треугольников, основание — a × b.

Как устроен клин

Клин стоит на прямоугольнике и сужается к верхнему ребру. Основание и ребро лежат в двух параллельных плоскостях, поэтому все вершины тела оказываются в этих плоскостях. Боковые грани при этом не обязаны быть одинаковыми: важно лишь, чтобы ребро оставалось параллельным длинной стороне основания.

Если верхнее ребро сдвинуть или наклонить, получится другое тело, и приведённая формула к нему напрямую не применится. Проверяйте параллельность по чертежу: именно на ней держится расчёт объёма.

Клин как частный случай призматоида

У клина все вершины лежат в двух параллельных плоскостях, значит он относится к призматоидам. Его объём можно получить и по формуле Симпсона V = h / 6 × (S₁ + 4S + S₂): площадь верхнего сечения здесь равна нулю, так как ребро не имеет площади. Формула клина — результат такой подстановки.

Отсюда следуют и границы применимости: высота должна быть перпендикулярна основанию, а рёбра — соединять вершины прямоугольника с верхним ребром. Для скошенного клина с непараллельными плоскостями нужен другой расчёт.

Единицы измерения и литры

Длина, ширина, ребро и высота вводятся в мм, см или м. Если все размеры в миллиметрах, объём получается в мм³, площадь — в мм². При переключении единиц калькулятор пересчитывает поля и результат, так что смешивать системы не нужно.

Для перевода в литры используйте 1 л = 1 000 см³ = 0,001 м³, то есть 1 л = 1 000 000 мм³. Объём 960 000 мм³ соответствует 0,96 л. Калькулятор показывает это значение рядом с результатом.

Где это нужно

• Клинья — фиксаторы и рабочие детали, у которых важны объём материала и наклон граней.
• Направляющие — расчёт объёма и массы заготовки для деталей с переменным сечением.
• Подкладки — выравнивающие элементы под наклон, для которых нужно знать высоту и площадь опоры.
• Детали под уклон — заготовки, у которых верхняя грань сходится к ребру.

Примеры расчёта

Пример 1. a = 200 мм, b = 100 мм, c = 80 мм, h = 120 мм. V = 120 × 100 / 6 × 480 = 960 000 мм³ = 0,96 л.

Пример 2. Для тех же размеров площадь основания равна 20 000 мм². Высота наклонной трапеции l = √(120² + 100² / 4) = 130 мм. Боковая поверхность S бок. = 49 816 мм², полная поверхность S полн. = 69 816 мм².

Проверка расчёта

Полная поверхность должна складываться из основания и боковой поверхности: 20 000 + 49 816 = 69 816 мм². Высота трапеции l обязана быть больше высоты клина h — в примере 130 мм против 120 мм. Если l получилась меньше h, проверьте, что под корнем стоит b² / 4, а не b².

Полезен предельный случай: при a = b = c = h клин превращается в половину куба, и формула даёт V = a³ / 2. Если проверочный расчёт не совпадает, ищите ошибку в подстановке или единицах.