Калькулятор вписанной и описанной окружностей треугольника

Что считает калькулятор по трём сторонам

Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника, описанная проходит через все его вершины. Калькулятор принимает стороны a, b и c и выдаёт площадь, периметр и радиусы: r = S / p для вписанной окружности и R = a × b × c / (4S) для описанной, где p — полупериметр, p = (a + b + c) / 2. Обозначения сторон подписаны на чертеже. Площадь находится по формуле Герона: S = √(p × (p − a) × (p − b) × (p − c)).

Где лежат центры окружностей

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис: она одинаково удалена от всех сторон, поэтому окружность касается каждой из них. Центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам: она равноудалена от вершин. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, в тупоугольном — снаружи.

Почему r = S / p и R = a × b × c / (4S)

Соединим центр вписанной окружности с вершинами — треугольник разобьётся на три, у каждого высота равна r. Их площади равны r × a / 2, r × b / 2 и r × c / 2, а в сумме дают S = r × p. Отсюда r = S / p; через полный периметр та же формула записывается как r = 2 × S / P.

Для описанной окружности работают теорема синусов и формула площади через две стороны и угол: S = (a × b × sin γ) / 2 и c / sin γ = 2 × R. Подставив sin γ = c / (2 × R), получаем S = a × b × c / (4 × R), то есть R = a × b × c / (4S).

Пример: стороны 60, 80 и 100 мм

Полупериметр p = 120 мм, площадь по формуле Герона S = 2 400 мм², периметр P = 240 мм. Радиус вписанной окружности r = 2 400 / 120 = 20 мм, описанной — R = (60 × 80 × 100) / (4 × 2 400) = 50 мм. Это прямоугольный треугольник: 60² + 80² = 100², поэтому центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, и R = 100 / 2 = 50 мм — результаты сходятся.

Проверка на равностороннем треугольнике

Сторона 100 мм: p = 150 мм, S = 4 330,13 мм², r = 28,87 мм, R = 57,74 мм. Отношение R / r равно 2 — свойство любого равностороннего треугольника: центры окружностей у него совпадают, а радиусы различаются ровно вдвое.

Проверка размеров и применение

Треугольник существует, только если сумма любых двух сторон больше третьей — иначе калькулятор предупредит до расчёта.

• Косынки и пластины — центр вписанной окружности равноудалён от всех трёх кромок: по нему размечают круглое отверстие.
• Разметка под трубу — вписанная окружность показывает предельный радиус круглой заготовки, которая войдёт в треугольный проём.
• Расстановка крепежа — если центры трёх отверстий лежат на одной окружности, её радиус считают по формуле описанной окружности.
• Учёба — задачи на формулу Герона и радиусы окружностей с проверкой ответа.