Калькулятор тороида: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Овальные кольца и обечайки — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали, а лазерная резка даст заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Перемножьте радиус кольца и полуоси сечения.
- Умножьте на 2π² — получите объём.
- Для площади найдите периметр эллипса P (в калькуляторе он считается точно) и умножьте на 2πR.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы объёма и площади поверхности тороида
Объём тороида с эллиптическим сечением равен V = 2 × π² × R × a × b. Здесь R — радиус кольца, расстояние от центра тела до центра сечения, a — полуось сечения по радиусу, b — полуось по высоте. Формула следует из теоремы Паппуса: площадь эллипса πab умножается на путь его центра 2πR.
Периметр эллиптического сечения не выражается через элементарные функции. Калькулятор считает его точно, численным интегрированием: P = 4 × ∫₀^(π/2) √(a² sin²θ + b² cos²θ) dθ. Приближённые формулы для эллипса здесь не используются. Площадь поверхности S = 2πR × P: длина осевой линии кольца, умноженная на точный периметр сечения.
Чем тороид отличается от тора
У тора сечение — круг, у тороида — эллипс, поэтому вместо одного радиуса трубки задаются две полуоси. Полуось a влияет на наружный диаметр, полуось b — на высоту тела. Если a = b, эллипс превращается в круг, и формулы дают обычный тор: V = 2π²Rr² и S = 4π²Rr.
Полуось a должна быть меньше радиуса кольца R, иначе отверстие в центре исчезнет. Полуось b может быть как меньше a, так и больше: сечение бывает вытянутым по радиусу или по высоте. Наружный диаметр равен 2 × (R + a), диаметр отверстия — 2 × (R − a).
Единицы измерения и литры
Все размеры задаются в мм, см или м, объём выводится в кубических единицах, площадь — в квадратных. Пересчёт: 1 см³ = 1 000 мм³, 1 л = 1 000 см³ = 1 000 000 мм³, 1 м³ = 1 000 л. Объём 2 368 705 мм³ — это 2,369 л, или 2 368,7 см³. Площадь 156 023 мм² соответствует 1 560,2 см². При ручном расчёте следите, чтобы R, a и b были в одной единице.
Где это нужно на практике
- Уплотнения — кольца с овальным сечением, где нужен точный объём материала и площадь контакта.
- Ёмкости и оболочки — тороидальные резервуары и компенсаторы с эллиптическим профилем.
- Металлообработка — гнутые кольцевые детали; объём через плотность переводится в массу заготовки.
- Электротехника и дизайн — катушки, индуктивности и декоративные кольца некруглого сечения.
Примеры расчёта
Пример 1. R = 120 мм, a = 40 мм, b = 25 мм. Площадь сечения πab = 3 141,59 мм², путь центра 2πR = 753,982 мм. V = 3 141,59 × 753,982 ≈ 2 368 705 мм³ ≈ 2,369 л. Периметр сечения P = 206,931 мм, площадь поверхности S = 753,982 × 206,931 ≈ 156 023 мм². Наружный диаметр 2 × (120 + 40) = 320 мм.
Пример 2. Проверка через тор: при a = b = r эллиптическое сечение становится круглым. Подставляем a = b в формулы: V = 2π²Rab превращается в V = 2π²Rr², а S = 2πR × P — в S = 4π²Rr, поскольку периметр круга P = 2πr.
Проверка расчёта
Периметр эллипса всегда лежит между длинами вписанной и описанной окружностей: 2πb и 2πa при a больше b. Для примера 1 это выполняется, а площадь поверхности равна произведению периметра сечения на 2πR — проверьте это соотношение, если считаете вручную.
Объём пропорционален R, a и b по отдельности: увеличение любой полуоси вдвое удваивает объём. Наружный диаметр зависит только от R и a, но не от b. Контрольные значения примера 1 — 2 368 705 мм³, 206,931 мм, 156 023 мм² и 320 мм — удобно использовать для проверки калькулятора после смены единиц.