Калькулятор правильного тетраэдра: объём и площадь
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Тетраэдры и пирамидальные детали — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите ребро в куб.
- Разделите на 6√2 ≈ 8,4853 — получите объём.
- Площадь — √3 × a²; радиусы — по формулам выше.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы тетраэдра
Объём правильного тетраэдра равен кубу ребра, делённому на 6√2: V = a³ / (6√2). Поскольку 6√2 ≈ 8,4853, достаточно возвести ребро в куб и разделить результат на 8,4853. Площадь поверхности складывается из четырёх равносторонних треугольников: S = √3 × a².
Радиус описанной сферы — R = a√6 / 4, радиус вписанной сферы — r = a√6 / 12. Описанная сфера проходит через все четыре вершины, вписанная касается всех четырёх граней. R / r = 3 — отношение не зависит от длины ребра и служит удобной проверкой результата.
Четыре грани, шесть рёбер, четыре вершины
У тетраэдра четыре треугольные грани, шесть рёбер и четыре вершины; в каждой вершине сходятся три грани. Формула Эйлера выполняется: В − Р + Г = 4 − 6 + 4 = 2. Это простейшее Платоново тело — выпуклый многогранник не может иметь меньше четырёх граней.
Тетраэдр двойственен сам себе: центры его граней образуют такой же правильный тетраэдр. Как и остальные Платоновы тела, он вписан в сферу радиуса R и содержит вписанную сферу радиуса r. Куб — тоже Платоново тело, но для него на сайте отдельный калькулятор.
Единицы измерения и литры
Ребро можно задать в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Калькулятор приводит входные данные к одной единице, поэтому объём возвращается в кубических миллиметрах, сантиметрах или метрах, площадь — в квадратных, радиусы — в линейных.
1 м³ = 1 000 л, а 1 л = 1 дм³ = 1 000 000 мм³. Для ребра 100 мм объём 117 851,13 мм³ соответствует примерно 0,118 л. При ребре 1 м коэффициент 1 / (6√2) даёт 0,11785 м³, или около 118 л.
Где нужен расчёт
- Машиностроение — пирамидальные наконечники, опоры и заготовки, для которых важны объём и масса.
- Металлообработка — объём отливки или сварной конструкции переводится в массу по плотности материала.
- Дизайн и 3D-печать — расход материала и площадь поверхности для отделки тетраэдральных элементов.
- Учёба — задачи на правильные многогранники, формулу Эйлера и отношения радиусов.
Примеры расчёта
Пример 1. Ребро a = 100 мм. Куб ребра равен 1 000 000 мм³. Делим на 6√2 ≈ 8,4853: V = 117 851,13 мм³, или примерно 0,118 л.
Пример 2. При том же ребре S = √3 × 10 000 = 17 320,51 мм². Радиусы: R = 100 × √6 / 4 = 61,237 мм, r = 100 × √6 / 12 = 20,412 мм.
Пример 3. Ребро увеличили вдвое, до 200 мм. Объём вырос в 2³ = 8 раз, площадь — в 2² = 4 раза, радиусы — в 2 раза. При уменьшении ребра до 10 мм объём, наоборот, станет в 1 000 раз меньше, чем при 100 мм.
Проверка расчёта
Формула Эйлера: 4 − 6 + 4 = 2. Отношение радиусов 61,237 / 20,412 ≈ 3 совпадает с R / r = 3. Полезен и третий контроль: для любого многогранника с вписанной сферой V = 1/3 × S × r. Подстановка 17 320,51 × 20,412 / 3 даёт практически те же 117 851 мм³.
Если результат расходится с ожидаемым, проверьте единицы и порядок введённого ребра: объём зависит от куба, поэтому ошибка в 10 раз в ребре даёт ошибку в 1 000 раз в объёме.