Калькулятор сферического клина: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Сферические сегменты и купола — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Переведите угол из градусов в радианы: α = угол × π / 180.
- Умножьте R³ на α и на 2/3 — получите объём.
- Сложите площадь луночки 2R²α с площадью двух полукругов πR².
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы сферического клина
Сферический клин — часть шара между двумя полуплоскостями, проходящими через его диаметр. По форме он похож на дольку апельсина: две плоские полукруглые грани и сферическая поверхность между ними. Угол клина α — двугранный угол между полуплоскостями.
Объём: V = 2/3 × R³ × α, где α выражен в радианах. Площадь сферической луночки: S луночки = 2R²α. Два плоских полукруга в сумме дают круг площадью πR². Полная поверхность: S полн. = 2R²α + πR².
Угол в градусах переводится в радианы по формуле α = угол × π / 180. Например, 60° — это π / 3 = 1,0472 рад, 180° — π рад, 360° — 2π рад. Калькулятор принимает градусы, а внутри использует радианы, поэтому вручную переводить не нужно.
Ключевые особенности
Угол клина должен быть меньше 360°. При 180° получается половина шара: объём равен 2/3 × πR³, полная поверхность — 3πR². При 60° клин составляет шестую часть шара, потому что 60 / 360 = 1/6.
Объём и площадь луночки растут линейно с углом при неизменном радиусе. Пока угол меньше 360°, плоские грани от него не зависят: их суммарная площадь всегда πR². В отличие от шарового сегмента, у клина плоские грани — полукруги радиуса R, а не круг основания.
Единицы измерения и литры
Радиус задаётся в миллиметрах, сантиметрах или метрах; угол — в градусах. Объём получается в кубических единицах, площадь — в квадратных. Для литров: 1 л = 1 000 000 мм³ = 0,001 м³, а 1 м³ = 1 000 л. Результат в мм³ делится на миллион, чтобы получить литры.
Для R = 100 мм и α = 60° объём равен 698 132 мм³. Это примерно 0,698 л — тот же объём, что и у шестой части шара радиусом 100 мм.
Где это нужно на практике
- Сферические оболочки — расчёт дольчатой панели купола или сегмента сферы, вырезанного по углу.
- Ёмкости — объём секторной части сосуда и площадь сферической поверхности под покрытие.
- Металлообработка — площадь луночки и плоских граней для раскроя, объём для оценки массы.
- Учёба — задачи на двугранные углы и тела вращения с проверкой по половине и целому шару.
Примеры расчёта
Пример 1. Объём. R = 100 мм, α = 60° = 1,0472 рад. R³ = 1 000 000. V = 2/3 × 1 000 000 × 1,0472 = 698 132 мм³.
Пример 2. Сферическая луночка. S луночки = 2 × 100² × 1,0472 = 20 944 мм². Это площадь только криволинейной части, без торцов.
Пример 3. Плоские грани и полная поверхность. Два полукруга в сумме дают πR² = 3,14159 × 10 000 = 31 416 мм². Полная поверхность: S полн. = 20 944 + 31 416 = 52 360 мм².
Проверка расчёта
При α = 180° объём должен равняться половине шара, а поверхность — 3πR². При α = 360° объём стремится к 4/3 × πR³, то есть к объёму полного шара.
С полной поверхностью на границе есть особенность. При α → 360° плоские грани вырождаются: полуплоскости совпадают. Формула продолжает учитывать два полукруга, поэтому S полн. стремится к 5πR², а не к 4πR². Если нужна реальная внешняя поверхность шара, плоские грани на границе не суммируют. Объём при этом остаётся корректным и стремится к 4/3 × πR³.