Калькулятор шарового сегмента: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Сферические днища и купола — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка и гибка сделают детали.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите высоту сегмента в квадрат.
- Вычислите (R − h / 3) и перемножьте с h² и π — получите объём.
- Радиус основания — корень из (2Rh − h²). Полная поверхность: сфера 2πRh плюс круг πa², вместе это πh(4R − h).
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы шарового сегмента
Шаровой сегмент — часть шара, отсечённая плоскостью. У него есть плоское круглое основание и сферическая шапка. Калькулятор принимает радиус сферы R и высоту сегмента h — расстояние от плоскости среза до верхней точки шапки.
Объём: V = π × h² × (R − h / 3). Радиус основания: a = √(2Rh − h²). Площадь сферической части: S сферы = 2πRh. Полная поверхность складывается из шапки и плоского круга: S полн. = 2πRh + πa² = πh(4R − h).
Вторая запись полной площади удобна тем, что не требует отдельно считать радиус основания. Обе формы дают одинаковый результат, а калькулятор показывает промежуточные величины.
Ключевые особенности
Высота сегмента лежит в пределах от 0 до 2R. При h = R получается полушар, при h = 2R — полный шар. Если ввести h больше 2R, геометрического смысла у результата нет: плоскость среза уже не пересекает сферу.
Не путайте сегмент с шаровым сектором. У сегмента плоское основание действительно входит в поверхность тела. У сектора такого основания нет: круг радиуса a у него внутренний, а внешняя поверхность состоит из сферической шапки и конической поверхности.
Единицы измерения и литры
Радиус и высота задаются в одной единице: миллиметрах, сантиметрах или метрах. Объём автоматически получается в мм³, см³ или м³, площадь — в мм², см² или м². Для перевода в литры используйте соотношение 1 л = 1 000 000 мм³ = 0,001 м³. В кубометрах 1 м³ = 1 000 л.
Для R = 100 мм и h = 40 мм объём равен 435 634 мм³, то есть примерно 0,436 л. Калькулятор выводит и главное значение, и перевод, поэтому пересчитывать вручную не нужно.
Где это нужно на практике
- Сферические днища и крышки — расчёт вместимости и площади поверхности перед изготовлением.
- Ёмкости и резервуары — объём шаровой «шапки» для уровня заполнения или полезного объёма.
- Металлообработка — площадь заготовки под окраску, покрытие или расчёт массы через плотность.
- Строительство и учёба — купола, навесы, задачи на тела вращения с проверкой по краевым случаям.
Примеры расчёта
Пример 1. Объём. R = 100 мм, h = 40 мм. Возводим высоту в квадрат: h² = 1 600. Считаем скобку: R − h / 3 = 100 − 13,333 = 86,667. Умножаем: V = 3,14159 × 1 600 × 86,667 = 435 634 мм³ ≈ 0,436 л.
Пример 2. Основание и сфера. При тех же размерах 2Rh − h² = 8 000 − 1 600 = 6 400, поэтому a = 80 мм. Площадь сферической части: S сферы = 2 × 3,14159 × 100 × 40 = 25 133 мм².
Пример 3. Полная поверхность. По формуле πh(4R − h) получаем S полн. = 45 239 мм². Это сферическая шапка плюс плоский круг основания; доля основания заметна, поэтому заменять полную площадь только площадью сферы нельзя.
Проверка расчёта
Подставьте краевые значения. При h = R формула объёма даёт V = 2/3 × πR³, а полная поверхность равна 3πR² — это полушар вместе с основанием. При h = 2R объём равен 4/3 × πR³, полная поверхность — 4πR², то есть полный шар.
Ещё одна проверка — сравнить результаты: S полн. всегда больше S сферы на площадь основания πa², а радиус основания a не может превышать R. Если a получился больше R, проверьте, не перепутаны ли радиус сферы и радиус основания.