Калькулятор шарового сектора: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Конические и сферические детали — изготовим по размерам
Лазерная резка и гибка металла: посчитаем массу заготовки и сделаем деталь в размер.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите радиус сферы в квадрат и умножьте на высоту шапки.
- Умножьте на 2/3 × π — получите объём.
- Посчитайте a = √(2Rh − h²) и сложите площади 2πRh и πRa.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы шарового сектора
Шаровой сектор — тело, состоящее из сферической шапки и конуса с вершиной в центре сферы. Калькулятор принимает радиус сферы R и высоту шапки h. Высота отсчитывается от плоскости основания шапки до её верхней точки.
Объём: V = 2/3 × π × R² × h. Радиус основания шапки: a = √(2Rh − h²). Площадь сферической части: S сферы = 2πRh. Площадь конической поверхности: S конуса = πRa. Полная поверхность: S полн. = 2πRh + πRa.
В формулах нет площади плоского круга радиуса a: этот круг внутренний, он отделяет конус от шапки и не выходит на внешнюю поверхность. Поэтому полная поверхность сектора — это только сферическая и коническая части.
Ключевые особенности
Высота шапки лежит в пределах от 0 до 2R. При h = R сектор совпадает с полушаром: V = 2/3 × πR³, полная поверхность 3πR². При h = 2R он становится полным шаром: V = 4/3 × πR³, S = 4πR². Эти два случая удобно использовать для проверки.
Не путайте сектор с сегментом. У сегмента плоское основание входит в поверхность тела, у сектора такого основания нет: круг радиуса a внутренний. Внешняя граница сектора состоит из сферической шапки и конической поверхности.
Единицы измерения и литры
Радиус и высота должны быть в одной единице. Объём получается в мм³, см³ или м³, площадь — в мм², см² или м². Для перевода в литры: 1 л = 1 000 000 мм³, или 0,001 м³; 1 м³ = 1 000 л.
Для R = 100 мм и h = 40 мм объём равен 837 758 мм³, то есть примерно 0,838 л. Калькулятор показывает и кубические единицы, и литры, поэтому отдельный пересчёт не нужен.
Где это нужно на практике
- Сферические днища — объём и поверхность шапки, примыкающей к коническому переходу.
- Ёмкости — полезный объём секторной части резервуара и площадь под покрытие.
- Металлообработка — расход материала на коническую и сферическую поверхности, масса заготовки.
- Учёба — задачи на тела вращения и проверка формул по краевым случаям.
Примеры расчёта
Пример 1. Объём. R = 100 мм, h = 40 мм. R² = 10 000, 2/3 × π = 2,0944. Тогда V = 2,0944 × 10 000 × 40 = 837 758 мм³ ≈ 0,838 л.
Пример 2. Основание и сферическая часть. a = √(2 × 100 × 40 − 40²) = √(8 000 − 1 600) = √6 400 = 80 мм. S сферы = 2 × 3,14159 × 100 × 40 = 25 133 мм².
Пример 3. Коническая часть и полная поверхность. S конуса = π × 100 × 80 = 25 133 мм². При этих размерах она совпадает со сферической — это следствие того, что a = 2h, а не общее правило. Полная поверхность: S полн. = 25 133 + 25 133 = 50 265 мм².
Проверка расчёта
Подставьте h = R: объём станет 2/3 × πR³, а поверхность 3πR². При h = 2R радиус основания a обращается в нуль, коническая часть исчезает, и остаются формулы полного шара V = 4/3 × πR³ и S = 4πR².
Ещё одна проверка — сравнить S полн. с суммой двух слагаемых: сферической и конической площадей. Радиус a не может быть больше R, а при h = 0 объём и обе площади равны нулю. Если эти соотношения нарушены, проверьте единицы и порядок введённых размеров.