Калькулятор шарового слоя: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Пояса оболочек и резервуаров — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали, а лазерная резка даст заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите оба радиуса в квадрат, сложите, умножьте на 3 и прибавьте h².
- Умножьте сумму на π × h / 6 — получите объём.
- Радиус сферы: y₁ = (a² − b² − h²) / (2h), R = √(a² + y₁²).
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы шарового слоя
Шаровой слой — часть шара между двумя параллельными плоскостями. В отличие от сегмента, у слоя два плоских основания: нижнее радиуса a и верхнее радиуса b. Высота h — это расстояние между этими плоскостями.
Объём: V = π × h / 6 × (3a² + 3b² + h²). Площадь сферической поверхности: S сферы = 2πRh, где R — радиус сферы, частью которой является слой. Полная поверхность включает ещё два плоских круга: S полн. = 2πRh + π(a² + b²).
Радиус сферы по размерам слоя восстанавливается однозначно. Сначала находят вспомогательную величину y₁ = (a² − b² − h²) / (2h), затем R = √(a² + y₁²). Величина y₁ — вспомогательная: она может быть отрицательной, но в формулу радиуса входит в квадрате, поэтому на результат знак не влияет.
Ключевые особенности
Слой задаётся тремя размерами: a, b и h. Радиус сферы R не вводится отдельно — он восстанавливается по ним и получается своим для каждого набора. Калькулятор показывает R и площадь сферической части, чтобы можно было проверить построение.
Если радиусы оснований равны, слой симметричен относительно центра сферы: y₁ = −h / 2, а R = √(a² + h² / 4). Это удобный частный случай для проверки. При стремлении одного радиуса к нулю слой переходит в шаровой сегмент.
Единицы измерения и литры
Все три размера должны быть в одной единице. Объём выводится в кубических единицах, площадь — в квадратных. Для литров используйте 1 л = 1 000 000 мм³; в метрах 1 м³ = 1 000 л. Например, 850 848 мм³ — это 0,851 л.
Если размеры заданы в сантиметрах, результат будет в см³, а перевод в литры — делением на 1 000. Калькулятор делает это сам, поэтому главное — не смешивать единицы в полях ввода.
Где это нужно на практике
- Оболочки и резервуары — пояс сферической оболочки или резервуара между двумя горизонтальными швами.
- Вместимость — объём пояса при известном уровне заполнения или при разбивке ёмкости на участки.
- Металл и покрытия — площадь сферы для окраски, площадь полной поверхности вместе с торцами.
- Учёба и проверка — задачи на сечение шара плоскостями и восстановление радиуса сферы.
Примеры расчёта
Пример 1. Радиус сферы. a = 80 мм, b = 60 мм, h = 50 мм. Считаем y₁ = (80² − 60² − 50²) / (2 × 50) = (6 400 − 3 600 − 2 500) / 100 = 3 мм. Тогда R = √(80² + 3²) = √6 409 = 80,056 мм.
Пример 2. Объём. Сумма в скобках: 3 × 6 400 + 3 × 3 600 + 2 500 = 19 200 + 10 800 + 2 500 = 32 500. Умножаем на π × 50 / 6: V = 850 848 мм³ ≈ 0,851 л.
Пример 3. Поверхность. При R = 80,056 мм площадь сферы S сферы = 2πRh = 25 150 мм². Полная поверхность с двумя основаниями: S полн. = 56 566 мм².
Проверка расчёта
Сначала проверьте R: он должен быть не меньше каждого из радиусов a и b, ведь оба основания лежат на сфере. Затем сравните площади: S полн. всегда больше S сферы на площадь двух оснований π(a² + b²).
Полезен и краевой случай a = b: слой становится симметричным поясом, y₁ = −h / 2. Если в пределе a = b = 0 и h = 2R, верхнее и нижнее основания стягиваются в точки, а слой вырождается в полную сферу. Такая проверка быстро выявляет перепутанные радиусы или высоту.