Калькулятор пирамиды: объём, площадь поверхности и апофема
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Пирамидальные крыши, бункеры, воронки — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали, а в разделе лазерной резки изготовим детали.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Найдите площадь основания и умножьте на высоту.
- Поделите на три — получите объём.
- Апофема — корень из суммы квадратов высоты и радиуса вписанной окружности основания.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы объёма и поверхности правильной пирамиды
Пирамиду задают три величины: число сторон основания n, сторона основания a и высота h. Объём V = S осн. × h / 3, полная поверхность S = ½ × P × l + S осн., где P = n × a — периметр основания, l — апофема. Апофема l = √(h² + r²), r — радиус вписанной в основание окружности, а площадь основания считается как S осн. = n × a² / (4 × tg(180° / n)). Число сторон основания — целое от 3 до 12.
Чертёж рядом с полями ввода — аксонометрия пирамиды: невидимые рёбра показаны пунктиром, обозначения совпадают с полями, а рисунок реагирует на ввод. Формулы показаны рядом с результатами, переключатель мм / см / м меняет и поля, и ответ.
Почему объём пирамиды втрое меньше объёма призмы
Пирамида и призма с одинаковым основанием и одинаковой высотой различаются формой: призма сохраняет сечение по всей высоте, а пирамида сужается к вершине. Призму можно разрезать на три равные по объёму пирамиды — отсюда и множитель 1/3 в формуле объёма.
Апофема — высота боковой грани
Боковые грани правильной пирамиды — одинаковые треугольники с основанием a и высотой l, поэтому боковая поверхность равна ½ × P × l, а полная добавляет площадь основания. Апофема не равна высоте: это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами h и r, поэтому l = √(h² + r²) всегда больше h. У квадрата со стороной 80 мм радиус r = 40 мм, значит при высоте 120 мм апофема равна 126,49 мм.
Пример расчёта: квадрат 80 мм, высота 120 мм
Основание. S осн. = 6 400 мм², r = 40 мм, апофема l = 126,49 мм. Объём. V = 6 400 × 120 / 3 = 256 000 мм³ = 0,256 л. Поверхность. S полн. = 26 638,58 мм².
Призма с тем же основанием и высотой имела бы объём 768 000 мм³ — ровно в три раза больше. Объём 0,000256 м³ при плотности стали 7 850 кг/м³ даёт массу 2,01 кг: столько покажет блок «Масса». Кнопка «Скопировать ссылку» сохранит размеры и единицы — расчёт можно передать коллеге.
Где встречается расчёт пирамиды
- Крыши — шатровые и четырёхскатные кровли: объём и площадь скатов, расход материала.
- Бункеры и воронки — пирамидальные днища и переходы к разгрузочному отверстию.
- Декоративные элементы — обелиски, навершия и пирамидки: объём заготовки и её масса.
- Учёба — задачи на пирамиду с проверкой формул рядом с результатами.