Калькулятор призматоида: объём по площадям сечений
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Переходы и фасонные детали — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Сложите площади оснований и прибавьте учетверённое среднее сечение.
- Умножьте сумму на h / 6 — получите объём.
- Для сравнения посчитайте h × (S₁ + S₂) / 2: разница показывает, насколько тело отличается от призмы.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формула объёма призматоида
Объём призматоида вычисляется по правилу Симпсона: V = h / 6 × (S₁ + 4S + S₂). Здесь S₁ и S₂ — площади нижнего и верхнего оснований, S — площадь сечения точно посередине высоты, h — расстояние между плоскостями. Среднее сечение входит с коэффициентом четыре.
Формула работает для любого тела, у которого все вершины лежат в двух параллельных плоскостях. Форма оснований и боковых граней произвольна: важны площади трёх сечений и высота. Поэтому формулы призмы, пирамиды и клина — частные случаи одного выражения.
Какие тела считаются призматоидами
- Призмы — площади всех трёх сечений равны, и формула превращается в V = h × S.
- Пирамиды — верхнее основание стягивается в точку, S₂ = 0, а среднее сечение составляет четверть нижнего.
- Усечённые пирамиды — оба основания параллельны, боковые грани — трапеции.
- Клинья — верхнее основание вырождается в ребро, но вершины по-прежнему лежат в двух плоскостях.
Зачем нужно среднее сечение
Формула призмы h × (S₁ + S₂) / 2 учитывает только площади оснований и предполагает линейное изменение сечения. Для сужающегося тела площадь растёт и убывает быстрее, поэтому в примере ниже такая замена завышает объём на 7 %.
Средняя площадь по объёму равна (S₁ + 4S + S₂) / 6. Она показывает, какое постоянное сечение имело бы тело той же высоты и объёма. Для усечённой пирамиды из примера это 5 833 мм² — меньше среднего арифметического оснований.
Единицы измерения и литры
Площади сечений вводятся в мм², см² или м², высота — в мм, см или м. Единицы должны быть согласованы: мм² умножаются на мм и дают мм³, м² на м — м³. Калькулятор переключает единицы сразу для всех полей.
Для перевода в литры используйте 1 л = 1 000 см³ = 0,001 м³, то есть 1 м³ = 1 000 л. Объём 583 333 мм³ соответствует 0,583 л. Калькулятор показывает перевод под главным значением.
Где это нужно
- Переходы — участки трубопроводов и воздуховодов, где сечение меняется от одного размера к другому.
- Фасонные детали — детали с наклонными гранями, для которых нельзя взять готовую формулу призмы.
- Корпуса с переменным сечением — расчёт объёма и через плотность материала — массы заготовки.
Примеры расчёта
Пример 1. Усечённая пирамида 100 × 100 → 50 × 50 мм, высота 100 мм. S₁ = 10 000 мм², S₂ = 2 500 мм². Среднее сечение — квадрат со стороной (100 + 50) / 2 = 75 мм, поэтому S = 5 625 мм². V = 100 / 6 × 35 000 = 583 333 мм³ ≈ 0,583 л.
Пример 2. То же тело по формуле призмы: V = 100 × (10 000 + 2 500) / 2 = 625 000 мм³. Результат больше на 7 %, потому что формула не учитывает фактическое среднее сечение. Средняя площадь по объёму для правильного расчёта — 5 833 мм².
Проверка расчёта
Площадь среднего сечения сужающегося тела должна лежать между площадями оснований: в примере 5 625 мм² находится между 2 500 и 10 000 мм². Если S выходит за пределы, проверьте положение сечения и единицы всех трёх площадей.
Проверьте формулу на крайних случаях: для призмы S₁ = S₂ = S и V = h × S, для пирамиды S₂ = 0 и S = S₁ / 4, что даёт V = h × S₁ / 3.