Калькулятор прямой призмы: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Призматические детали и корпуса — посчитаем металл
В калькуляторе металла объём превращается в массу по марке стали и ГОСТ.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Найдите площадь правильного многоугольника в основании.
- Умножьте её на высоту — получите объём.
- Периметр основания, умноженный на высоту, — боковая поверхность; добавьте два основания.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Что считает калькулятор прямой призмы
Входные данные — число сторон основания n, сторона основания a и высота h. Основание — правильный многоугольник с равными сторонами; калькулятор принимает от 3 до 12 сторон. Выходы: объём V = S осн. × h, полная поверхность S = P × h + 2 × S осн., боковая S бок. = P × h и площадь основания S осн. = n × a² / (4 × tg(180° / n)). Периметр основания P = n × a.
Почему объём призмы — это площадь основания на высоту
Представьте призму собранной из тонких слоёв, каждый из которых повторяет основание. Объём столбика — площадь слоя, умноженная на их количество, то есть на высоту: это принцип Кавальери. Форма основания не важна — объём задают площадь основания и высота. Отсюда и родство тел: куб и параллелепипед — тоже призмы, только с четырёхугольным основанием, а при круглом основании получается цилиндр.
Боковая поверхность — это развёртка призмы
Если разрезать призму по боковому ребру и развернуть, боковые грани прямой призмы выстроятся в прямоугольник: его ширина — периметр основания P, а высота — h. Поэтому S бок. = P × h, и полная поверхность добавляет два основания. Для шестиугольника со стороной 60 мм P = 360 мм, значит S бок. = 360 × 120 = 43 200 мм².
Зачем нужен радиус вписанной окружности
Площадь правильного многоугольника удобно считать через радиус вписанной окружности r: S = ½ × P × r. Этот радиус — расстояние от центра до стороны, его ещё называют апофемой; у шестигранника он равен половине размера «под ключ». Формула с тангенсом — та же самая запись, так как r = a / (2 × tg(180° / n)). Для шестиугольника r ≈ 51,96 мм, и ½ × 360 × 51,96 ≈ 9 353 мм².
Пример: шестигранная призма 60 × 120 мм
Основание. S осн. = 6 × 60² / (4 × tg 30°) ≈ 9 353,07 мм², периметр 360 мм. Объём. V = 9 353,07 × 120 = 1 122 368,4 мм³ = 0,00112237 м³ = 1,12 л. Поверхность. S бок. = 43 200 мм², S полн. = 43 200 + 2 × 9 353,07 ≈ 61 906,15 мм².
Масса. При плотности стали 7 850 кг/м³: 0,00112237 м³ × 7 850 кг/м³ = 8,81 кг. Переключатель мм / см / м меняет единицы измерений и результатов, а число сторон основания — безразмерное.
Где встречаются призмы
- Метизы — шестигранные гайки и головки болтов: объём и масса заготовки.
- Металлоконструкции — гранёные стойки, опоры и колонны.
- Корпуса и детали — призматические направляющие, гранёные заготовки под фрезеровку.
- Учёба — объём и поверхность призмы одной формулой для любого основания.