Калькулятор параболоида вращения: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Купола, отражатели, обтекатели — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите радиус в квадрат и умножьте на высоту.
- Умножьте на π/2 — получите объём.
- Для боковой поверхности вычислите (R² + 4h²) в степени 1,5 и подставьте в формулу.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы объёма и площади поверхности параболоида вращения
Объём параболоида вращения равен половине объёма цилиндра с тем же радиусом основания и той же высотой: V = 1/2 × π × R² × h. Это точное соотношение, а не приближение: тело ограничено параболоидом и плоским круглым основанием, и интеграл по высоте даёт ровно половину.
Боковая поверхность считается по замкнутой формуле: S бок. = πR / (6h²) × ((R² + 4h²)^1,5 − R³). Полная поверхность добавляет круг основания: S полн. = S бок. + πR². Высота h входит в знаменатель, поэтому при очень малой высоте формула требует аккуратного вычисления из-за разности близких величин.
Что означают радиус и высота
R — радиус плоского круглого среза, самой широкой части тела. h — расстояние от плоскости основания до вершины параболоида. Оба размера задаются в одних и тех же единицах, иначе результат будет неверным.
Параболоид часто путают с конусом. У конуса объём равен трети объёма цилиндра, у параболоида — половине. При одинаковых основании и высоте параболоид вместительнее конуса в полтора раза. Боковая поверхность в формуле считается без основания, поэтому для окраски или покрытия выбирайте полную поверхность.
Единицы измерения и литры
Калькулятор принимает миллиметры, сантиметры или метры и показывает объём в соответствующих кубических единицах. Для пересчёта в литры: 1 л = 1 000 см³ = 1 000 000 мм³, а 1 м³ = 1 000 л. Объём 1 005 310 мм³ — это 1,005 л, или 1 005,3 см³. Площадь поверхности выводится в мм², см² или м²; 10 000 см² равны 1 м².
Где это нужно на практике
- Антенны и зеркала — тарелки спутниковых антенн и параболические отражатели: площадь поверхности и объём оболочки.
- Светотехника — отражатели прожекторов и осветительных приборов, где важна форма чаши.
- Обтекатели и купола — расчёт материала оболочки и внутреннего объёма.
- Ёмкости и 3D-печать — параболическое дно резервуара или расход пластика на модель.
Примеры расчёта
Пример 1. R = 80 мм, h = 100 мм. R² = 6 400, V = 1,5708 × 6 400 × 100 = 1 005 310 мм³ ≈ 1,005 л. Боковая поверхность S бок. = 39 722 мм², полная S полн. = 59 828 мм².
Пример 2. Проверка через цилиндр: при тех же размерах объём цилиндра равен π × 6 400 × 100 = 2 010 619 мм³, то есть 2,011 л. Половина этого значения — 1 005 310 мм³ — совпадает с объёмом параболоида из примера 1.
Пример 3. Разложение полной поверхности: площадь основания πR² = 20 106 мм². Складываем с боковой поверхностью: 39 722 + 20 106 = 59 828 мм², что совпадает с полной поверхностью.
Проверка расчёта
Объём растёт как R²h: увеличение радиуса вдвое при той же высоте даёт в четыре раза больший объём. Полная поверхность всегда больше боковой ровно на площадь основания. Если разность не равна πR², проверьте, не перепутаны ли радиус и диаметр.
Полезен и предельный случай: при стремлении высоты к нулю боковая поверхность стремится к площади круга πR², а полная — к удвоенной площади круга. Это логично: плоская чаша нулевой высоты превращается в два совпадающих диска. Значения из примеров — 1 005 310 мм³, 39 722 мм² и 59 828 мм² — можно использовать как контрольные при проверке калькулятора.