Калькулятор правильного октаэдра: объём и площадь
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Многогранники и декоративные элементы — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали, а лазерная резка даст заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите ребро в куб.
- Умножьте на √2 / 3 — получите объём.
- Площадь — 2√3 × a², радиусы — по формулам.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы октаэдра
Объём правильного октаэдра равен V = √2 / 3 × a³: ребро возводится в куб и умножается на √2 / 3 ≈ 0,4714. Площадь поверхности — восемь равносторонних треугольников: S = 2√3 × a².
Радиус описанной сферы — R = a√2 / 2, радиус вписанной сферы — r = a√6 / 6. Отношение R / r = √3 ≈ 1,732 не зависит от размера тела. Описанная сфера проходит через шесть вершин, вписанная касается всех восьми граней.
Две пирамиды, сложенные основаниями
Октаэдр состоит из двух правильных четырёхугольных пирамид с общим квадратным основанием. У него 8 граней, 12 рёбер и 6 вершин; в каждой вершине сходятся четыре треугольника. Формула Эйлера: В − Р + Г = 6 − 12 + 8 = 2.
Октаэдр двойственен кубу: центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — куб. Куб — тоже Платоново тело, для него на сайте отдельный калькулятор. Как и все правильные многогранники, октаэдр вписан в сферу радиуса R и содержит вписанную сферу радиуса r.
Единицы измерения и литры
Калькулятор принимает ребро в миллиметрах, сантиметрах или метрах и приводит его к одной единице. Объём выводится в кубических единицах, площадь — в квадратных, радиусы — в линейных.
1 м³ = 1 000 л, а 1 л = 1 000 000 мм³. Для ребра 100 мм объём 471 404,52 мм³ — это примерно 0,471 л, чуть меньше половины литра. Площадь 34 641,02 мм² соответствует 346,41 см².
Где нужен расчёт
- Кристаллография — многие минералы, включая алмаз, образуют кристаллы октаэдрической формы.
- Машиностроение — наконечники, опоры и детали, составленные из двух пирамид.
- 3D-печать и дизайн — объём материала и площадь поверхности гранёных элементов.
- Учёба — задачи на многогранники и двойственность куба и октаэдра.
Примеры расчёта
Пример 1. Ребро a = 100 мм. Куб ребра — 1 000 000 мм³. Умножаем на √2 / 3 ≈ 0,471405: V = 471 404,52 мм³, или около 0,471 л.
Пример 2. При том же ребре S = 2 × 1,73205 × 10 000 = 34 641,02 мм². Радиусы: R = 100 × √2 / 2 = 70,711 мм, r = 100 × √6 / 6 = 40,825 мм.
Пример 3. Ребро увеличили с 100 до 200 мм: объём вырос в 8 раз, площадь — в 4 раза, радиусы — вдвое. При ребре 50 мм объём будет в 8 раз меньше, чем при 100 мм, площадь — в 4 раза меньше.
Проверка расчёта
Формула Эйлера: 6 − 12 + 8 = 2. Отношение радиусов 70,711 / 40,825 ≈ 1,732 совпадает с √3. Площадь проверяется через одну грань: √3 / 4 × a² для равностороннего треугольника, умноженное на 8, даёт 2√3 × a².
Второй контроль — разбиение на две пирамиды. Высота каждой равна a√2 / 2, площадь общего основания — a², поэтому V = 2 × (1/3 × a² × a√2 / 2) = √2 / 3 × a³. Если расчёт расходится, проверьте единицы ребра.