Калькулятор наклонного конуса: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Наклонные конические детали — изготовим по вашим размерам
Лазерная резка и гибка металла: посчитаем массу заготовки и вырежем деталь.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Найдите площадь основания π × r².
- Умножьте на высоту и разделите на 3 — объём от наклона не зависит.
- Для боковой поверхности вычислите l макс. и l мин.; точное значение — эллиптический интеграл, его считает калькулятор.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы наклонного конуса
Объём наклонного конуса не зависит от смещения вершины: V = π × r² × h / 3. Это принцип Кавальери: на каждой высоте сечение имеет ту же площадь, что у прямого конуса с теми же радиусом и высотой. Смещение вершины e — расстояние от центра основания до точки, над которой стоит вершина. Поле необязательное: по умолчанию e = 0, то есть прямой конус.
Образующие у наклонного конуса разные. Самая длинная: l макс. = √((r + e)² + h²), самая короткая: l мин. = √((r − e)² + h²). Точная боковая поверхность выражается через эллиптический интеграл — элементарной формулы для неё нет, поэтому калькулятор берёт его численно, методом Симпсона в 720 шагов, и показывает формулу рядом с результатом. S полн. = S бок. + π × r².
Что меняет наклон
Смещение вершины увеличивает боковую поверхность: при r = 50 мм, h = 120 мм и e = 30 мм S бок. = 20 651 мм² против 20 420 мм² у прямого конуса. Объём при этом не меняется: он равен 314 159 мм³ при любом e. Чем больше смещение, тем сильнее отличаются l макс. и l мин.: при e = 30 мм это 144,2 и 121,7 мм.
Единицы измерения и литры
Переключатель единиц меняет и поля ввода, и результат: объём выводится в мм³, см³ или м³, площади — в мм², см² или м². 1 л = 0,001 м³ = 1 000 см³. Наклонный конус из примера ниже вмещает 314 159 мм³ ≈ 0,314 л — столько же, сколько прямой с теми же радиусом и высотой.
Где это нужно
- Наклонные воронки и раструбы — когда вершина смещена по компоновке оборудования, а не стоит над центром основания.
- Металлообработка — конические патрубки, вваренные под углом, конические обтекатели.
- Ёмкости — объём наклонной конической секции в литрах и кубометрах.
- Учёба — задачи на наклонный конус и принцип Кавальери.
Примеры расчёта
Пример 1. r = 50 мм, h = 120 мм, e = 30 мм. Объём: π × 2 500 × 120 / 3 = 314 159 мм³. Образующие: l макс. = √(80² + 120²) = 144,2 мм, l мин. = √(20² + 120²) = 121,7 мм. S бок. = 20 651 мм², S полн. = 20 651 + 7 854 = 28 505 мм².
Пример 2. Прямой предел: e = 0 при тех же r и h. Объём не меняется — 314 159 мм³, а боковая поверхность равна π × 50 × √(50² + 120²) = 20 420 мм².
Пример 3. r = 50 мм, h = 120 мм, e = 40 мм: ближняя образующая √(10² + 120²) = 120,4 мм, дальняя ровно √(90² + 120²) = 150 мм. Объём снова 314 159 мм³ — смещение вершины на него не влияет.
Проверка расчёта
Первый контроль — прямой предел: при e = 0 формула совпадает с прямым конусом, S бок. = π × r × √(r² + h²) = 20 420 мм² при r = 50 мм и h = 120 мм, обе образующие равны 130 мм. Второй — независимость объёма: при любом e результат должен оставаться 314 159 мм³. Если объём «поплыл», значит смещение попало в поле высоты.