Калькулятор правильного икосаэдра: объём и площадь
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Гранёные детали и корпуса — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите ребро в куб и умножьте на 5(3 + √5) / 12 ≈ 2,1817.
- Для площади умножьте a² на 5√3 ≈ 8,6603.
- Радиусы: R ≈ 0,9511a и r ≈ 0,7558a.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы икосаэдра
Объём правильного икосаэдра: V = 5(3 + √5) / 12 × a³. Коэффициент при кубе ребра равен 5(3 + √5) / 12 ≈ 2,1817. Площадь поверхности складывается из двадцати равносторонних треугольников: S = 5√3 × a², то есть примерно 8,6603 × a².
Радиус описанной сферы — R = a√(10 + 2√5) / 4 ≈ 0,9511a. Радиус вписанной сферы — r = a√3(3 + √5) / 12 ≈ 0,7558a. Отношение R / r ≈ 1,258 — такое же, как у додекаэдра.
Двадцать треугольников, двенадцать вершин
У икосаэдра 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин; в каждой вершине сходятся пять треугольников. Число рёбер: 20 × 3 / 2 = 30, число граней можно проверить через вершины: 12 × 5 / 3 = 20. Формула Эйлера: В − Р + Г = 12 − 30 + 20 = 2.
Икосаэдр двойственен додекаэдру: 20 граней одного соответствуют 20 вершинам другого, а 12 вершин — 12 граням. Тетраэдр двойственен сам себе, куб и октаэдр образуют пару, додекаэдр и икосаэдр — вторую пару. Все эти тела вписаны в сферу радиуса R и содержат вписанную сферу радиуса r. Куб — тоже Платоново тело, для него на сайте отдельный калькулятор.
Единицы измерения и литры
Калькулятор принимает ребро в миллиметрах, сантиметрах или метрах и пересчитывает его в одну единицу. Объём выводится в кубических единицах, площадь — в квадратных, радиусы — в линейных.
1 м³ = 1 000 л, а 1 л = 1 000 000 мм³. Для ребра 100 мм объём 2 181 694,99 мм³ равен примерно 2,18 л, а площадь поверхности — 86 602,54 мм². Для сравнения, у додекаэдра с ребром 100 мм объём 7 663 118,96 мм³.
Где нужен расчёт
- Геодезические купола — сферические конструкции строят разбиением икосаэдра на треугольники.
- 3D-печать и дизайн — расход материала и площадь поверхности гранёных изделий и костей d20.
- Кристаллография и биология — многие вирусные капсиды имеют икосаэдрическую симметрию.
- Учёба — задачи на правильные многогранники, двойственность и формулу Эйлера.
Примеры расчёта
Пример 1. Ребро a = 100 мм. Куб ребра равен 1 000 000 мм³. Умножаем на 2,1817: V = 2 181 694,99 мм³, или примерно 2,18 л.
Пример 2. При том же ребре S = 8,6603 × 10 000 = 86 602,54 мм². Радиусы: R = 95,106 мм, r = 75,576 мм.
Пример 3. Ребро увеличили с 100 до 200 мм: объём вырос в 8 раз, площадь — в 4 раза, радиусы — вдвое. При ребре 50 мм объём будет в 8 раз меньше, чем при 100 мм.
Проверка расчёта
Формула Эйлера: 12 − 30 + 20 = 2. Пять треугольников в каждой вершине дают 12 × 5 / 3 = 20 граней. Отношение радиусов 95,106 / 75,576 ≈ 1,258 совпадает с R / r.
Объём можно проверить разбиением на 20 пирамид с вершиной в центре: V = 1/3 × S × r. Подстановка 86 602,54 × 75,576 / 3 даёт практически те же 2 181 695 мм³. Если числа расходятся, проверьте единицы ребра и округление коэффициентов.