Калькулятор усечённой пирамиды: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Переходы, обечайки, усечённые бункеры — считаем металл
В калькуляторе металла объём превращается в массу детали, а в разделе лазерной резки изготовим заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Найдите площади обоих оснований.
- Сложите их и прибавьте корень из произведения — получите «среднее по объёму».
- Умножьте на треть высоты — получите объём.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы объёма и поверхности усечённой пирамиды
Усечённую пирамиду задают четыре величины: число сторон оснований n, сторона нижнего основания a, сторона верхнего b и высота h. Объём V = h / 3 × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)), где S₁ и S₂ — площади нижнего и верхнего оснований. Полная поверхность S = S бок. + S₁ + S₂, боковая S бок. = (P₁ + P₂) / 2 × l, где P₁ и P₂ — периметры оснований. Апофема l = √(h² + (r₁ − r₂)²), r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей, а площадь нижнего основания считается как S₁ = n × a² / (4 × tg(180° / n)). Верхнее основание должно быть меньше нижнего.
Чертёж рядом с полями ввода — аксонометрия усечённой пирамиды: невидимые рёбра показаны пунктиром, рисунок реагирует на ввод. Формулы показаны рядом с результатами, переключатель мм / см / м меняет и поля, и ответ.
Почему среднее геометрическое, а не арифметическое
Объём усечённой пирамиды нельзя найти как высоту, умноженную на площадь одного из оснований: сечение меняется по высоте. Формула использует среднее геометрическое √(S₁ × S₂), а не среднее арифметическое (S₁ + S₂) / 2. Расхождение заметно: если взять среднее арифметическое 6 250 мм², объём получится 562 500 мм³ — примерно на 7 % больше правильного 525 000 мм³.
Как получается апофема
Апофема — высота боковой грани в виде трапеции. Её находят как гипотенузу прямоугольного треугольника: один катет — высота h, второй — разность радиусов вписанных окружностей r₁ − r₂, поэтому l = √(h² + (r₁ − r₂)²). Площадь боковой грани равна полусумме сторон трапеции, умноженной на высоту; для всех n граней S бок. = (P₁ + P₂) / 2 × l.
Пример расчёта: квадраты 100 и 50 мм, высота 90 мм
Основания. S₁ = 10 000 мм², S₂ = 2 500 мм². Объём. V = 525 000 мм³ = 0,525 л. Апофема. l = 93,41 мм. Поверхность. S полн. = 40 522,31 мм².
Блок «Масса» переведёт объём в вес по выбранному материалу и плотности; кнопка «Скопировать ссылку» сохранит размеры и единицы измерения.
Где встречается расчёт усечённой пирамиды
- Переходы сечений — элементы аппаратов, где большее сечение сменяется меньшим.
- Обечайки и бункеры — гранёные обечайки и пирамидальные днища: объём и масса заготовки.
- Дымовые трубы и опоры — гранёные стволы с уступом, пирамидальные опоры и тумбы.
- Учёба — задачи на усечённую пирамиду с проверкой формул рядом с результатами.