Калькулятор усечённого эллиптического конуса: объём и поверхность
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Переходники с эллиптическими сечениями — изготовим деталь
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка и гибка сделают переход.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Перемножьте полуоси: a₁ × b₁ и a₂ × b₂ — получите «площади без π».
- Сложите их крест-накрест (a₁b₂ + a₂b₁) и прибавьте удвоенные собственные произведения.
- Умножьте на π × h / 6 — получите объём.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы усечённого эллиптического конуса
Тело задают пять величин: полуоси нижнего основания a₁ и b₁, полуоси верхнего основания a₂ и b₂ и высота h. Объём V = π × h / 6 × (a₁b₂ + a₂b₁ + 2a₁b₁ + 2a₂b₂). Полная поверхность складывается из боковой и двух оснований: S полн. = S бок. + π × a₁b₁ + π × a₂b₂.
Боковая поверхность считается численно двойным интегралом по образующим между эллипсами: каждая образующая соединяет точку нижнего эллипса с соответствующей точкой верхнего, и по периметру их длины разные. Элементарной формулы здесь нет, поэтому калькулятор берёт интеграл численно.
Подобные основания и линейный переход
Если основания подобны, то есть a₂ / a₁ = b₂ / b₁, формула объёма сводится к классической формуле настоящего усечённого конуса: V = π × h / 3 × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)), где S₁ и S₂ — площади оснований.
Если полуоси заданы независимо и пропорция не выполняется, калькулятор считает тело как линейный переход между эллипсами — именно так рассчитывают переходники, обечайки и овальные воронки. Обе трактовки согласованы между собой: при равных основаниях объём переходит в объём эллиптического цилиндра π × a × b × h, а пример ниже показывает совпадение с круглым усечённым конусом.
Единицы измерения и литры
Объём выводится в мм³, см³ или м³, площади — в мм², см² или м²; переключатель меняет и поля ввода, и ответ. Перевод в литры: 1 л = 1 000 см³ = 1 000 000 мм³, поэтому объём 1 154 535 мм³ — это примерно 1,15 л.
Где это нужно
- Переходники — овальное сечение сменяется меньшим овальным или круглым: объём для массы детали, поверхность для заготовок.
- Обечайки и воронки — овальные ёмкости, бункеры и дозаторы: вместимость в литрах, раскрой стенки.
- Металлообработка — развёртки боковой стенки и вес сварной конструкции по объёму и плотности материала.
- Учёба — усечённые тела с эллиптическими основаниями, разбор классической формулы и линейного перехода.
Примеры расчёта
Пример 1. a₁ = 100, b₁ = 70, a₂ = 50, b₂ = 35 мм, h = 90 мм. Слагаемые: a₁b₂ = 3 500, a₂b₁ = 3 500, 2a₁b₁ = 14 000, 2a₂b₂ = 3 500, их сумма — 24 500. Объём: V = 3,14159 × 90 / 6 × 24 500 = 1 154 535 мм³ ≈ 1,15 л.
Пример 2. Основания этого тела: S₁ = π × 100 × 70 = 21 991 мм², S₂ = π × 50 × 35 = 5 498 мм². Боковая поверхность — 39 944 мм², полная — 67 433 мм².
Проверка расчёта
Сделайте основания круглыми: a₁ = b₁ = 80 мм, a₂ = b₂ = 40 мм, h = 100 мм. Получится обычный усечённый конус, и калькулятор выдаст V = 1 172 861 мм³ и S бок. = 40 603 мм² — те же числа даёт классическая формула круглого усечённого конуса. Такой переход к кругу — самый быстрый способ проверить корректность результата.