Калькулятор эллиптического конуса: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Овальные воронки и переходники — посчитаем металл и изготовим
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка и гибка сделают деталь.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Перемножьте полуоси и умножьте на π — получите площадь основания.
- Умножьте на высоту и разделите на 3 — получите объём.
- Боковую поверхность проще всего взять из калькулятора: она считается через эллиптический интеграл.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы объёма и поверхности эллиптического конуса
Эллиптический конус задают три величины: большая полуось основания a, малая полуось b и высота h. Объём V = π × a × b × h / 3: в основании лежит эллипс площадью S осн. = π × a × b, поэтому объём — это треть произведения площади основания на высоту, как и у круглого конуса.
Боковая поверхность считается по формуле S бок. = 2 × ∫₀^π/2 √(a²b² + h² × (a²sin²θ + b²cos²θ)) dθ. Точного выражения в элементарных функциях у неё нет, поэтому калькулятор берёт интеграл численно и выдаёт результат сразу после ввода размеров. Полная поверхность — сумма боковой и площади основания.
Почему боковая поверхность — интеграл
У круглого конуса все образующие одинаковы и равны √(r² + h²), поэтому боковая поверхность считается просто: π × r × l. У эллиптического конуса длина образующей меняется по периметру основания — от √(b² + h²) в вершине малой оси до √(a² + h²) в вершине большой. Одним множителем такая поверхность не описывается, её приходится интегрировать по углу θ.
Согласованность формулы видна при a = b = r: подкоренное выражение упрощается, интеграл даёт π / 2, и вся боковая поверхность переходит в знакомую π × r × √(r² + h²) круглого конуса.
Единицы измерения и литры
Переключатель единиц меняет и поля ввода, и результаты: объём выводится в мм³, см³ или м³, площади — в мм², см² или м². Для перевода в литры полезно равенство 1 л = 1 000 см³ = 1 000 000 мм³. Объём 678 584 мм³ — это 0,68 л, а 314 159 мм³ — примерно 0,314 л.
Где это нужно
- Овальные воронки — объём загрузки и вместимость бункера с эллиптическим устьем.
- Переходники и насадки — детали, где круглое сечение сменяется овальным; объём нужен для массы отливки или сварной конструкции.
- Декоративные детали — купола, наконечники и шпили эллиптического сечения: площадь поверхности для окраски, объём для формы.
- Учёба — задачи на тела вращения и эллиптические интегралы с проверкой ответа.
Примеры расчёта
Пример 1. a = 90 мм, b = 60 мм, h = 120 мм. Площадь основания: S осн. = 3,14159 × 90 × 60 = 16 965 мм². Объём: V = 3,14159 × 90 × 60 × 120 / 3 = 678 584 мм³ ≈ 0,68 л.
Пример 2. Поверхности того же тела: S бок. = 33 281 мм², S полн. = 50 245 мм². Масштаб показателен: при основании a = 1,5b боковая поверхность 33 281 мм² почти вдвое больше площади основания 16 965 мм².
Проверка расчёта
Подставьте равные полуоси — тело превратится в круглый конус. При a = b = 50 мм и h = 120 мм образующая l = √(50² + 120²) = 130 мм, V = 3,14159 × 2 500 × 120 / 3 = 314 159 мм³, S бок. = π × 50 × 130 = 20 420 мм². Те же значения даёт формула π × r × √(r² + h²): это лучший контроль корректности численного интегрирования.