Калькулятор эллипсоида: объём и площадь поверхности
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Овальные детали и обтекатели — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка и гибка сделают деталь.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Перемножьте три полуоси.
- Умножьте на 4/3 × π — получите объём.
- Площадь поверхности возьмите из калькулятора: она вычисляется интегралом.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы объёма и площади поверхности эллипсоида
Объём эллипсоида равен четырём третям произведения числа π на три полуоси: V = 4/3 × π × a × b × c. Полуоси a, b и c — это половины габаритов тела по трём взаимно перпендикулярным осям. Объём определяется только произведением полуосей, поэтому две разные формы с одинаковым a × b × c имеют одинаковый объём.
Сечение плоскостью, проходящей через центр, — эллипс с полуосями a и b, его площадь S = π × a × b. Через центр можно провести три разных сечения; самое большое — то, которое проходит через две наибольшие полуоси.
Площадь поверхности: численное интегрирование
Для площади поверхности эллипсоида не существует точного выражения в элементарных функциях. Калькулятор не применяет приближённые формулы вроде Кнуд-Томсена, а вычисляет двойной интеграл по поверхности численно и показывает значение интеграла рядом с результатом. Поэтому площадь поверхности точная в пределах точности интегрирования, а не приближённая.
Крайние случаи помогают проверить результат. Если a = b = c, эллипсоид становится шаром. Если равны только две полуоси, получается эллипсоид вращения — тело, образованное вращением эллипса вокруг одной из осей.
Единицы измерения и литры
Переключатель единиц меняет и поля ввода, и результат: объём выводится в мм³, см³ или м³. Соотношения для пересчёта: 1 см³ = 1 000 мм³, 1 м³ = 1 000 000 см³, 1 л = 1 000 см³ = 1 000 000 мм³. Значит, 1 м³ = 1 000 л. Результат 904 779 мм³ — это 0,905 л, или 904,8 см³. Под главным значением калькулятор показывает перевод в метры, поэтому пересчитывать вручную не нужно.
Где это нужно на практике
- Ёмкости и резервуары — эллиптические баки и капсулы, объём которых нужен в литрах или кубометрах.
- Металлообработка — объём овальной отливки или поковки; через плотность материала он переводится в массу.
- Обтекатели и дизайн — площадь поверхности для окраски, облицовки или расчёта материала оболочки.
- Учёба и проверка задач — сверка объёма и площади поверхности с аналитическими оценками.
Примеры расчёта
Пример 1. Полуоси a = 90 мм, b = 60 мм, c = 40 мм. Произведение 90 × 60 × 40 = 216 000. V = 4,18879 × 216 000 = 904 779 мм³ ≈ 0,905 л. Площадь поверхности S = 49 238 мм². Площадь центрального сечения S = π × 90 × 60 = 16 965 мм².
Пример 2. Проверка на шаре: a = b = c = 50 мм. V = 4,18879 × 125 000 = 523 599 мм³, S = 4 × 3,14159 × 2 500 = 31 416 мм² — это совпадает с формулами шара.
Проверка расчёта
Если все три полуоси увеличить в два раза, объём вырастет в восемь раз, а площадь поверхности — в четыре. Такой контроль помогает заметить ошибку в единицах: миллиметры и сантиметры дают разницу в объёме в 1 000 раз. Для эллипсоида вращения удобно проверять себя через шар: при a = b = c = 50 мм должны получиться 523 599 мм³ и 31 416 мм².
Площадь поверхности всегда больше площади центрального сечения: у примера 1 — 49 238 против 16 965 мм². Если калькулятор выдал обратное, проверьте, что в поля введены полуоси, а не полные габариты: подстановка диаметров вместо радиусов увеличивает объём в восемь раз.