Калькулятор сегмента эллипса: площадь и хорда
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Нужно вырезать часть овальной детали?
Лазерная резка по вашим размерам: посчитаем площадь и вес заготовки, изготовим деталь в размер.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Разделите высоту на большую полуось и вычтите результат из единицы — получите x.
- Возьмите арккосинус x и вычтите произведение x на √(1 − x²).
- Умножьте на произведение полуосей — получите площадь сегмента.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Как задаётся сегмент эллипса
Сегмент — часть эллипса, отсечённая прямой. Задаются обе полуоси a и b и высота сегмента h — расстояние от вершины эллипса до линии среза, отложенное вдоль большой полуоси. Сначала находится положение среза x = 1 − h / a, затем площадь S = a × b × (arccos x − x × √(1 − x²)) — арккосинус здесь берётся в радианах. Длина хорды c = 2 × b × √(1 − x²) — это линия среза. Площадь остатка калькулятор считает как π × a × b − S.
Почему площадь считается через окружность
Эллипс — это окружность, сжатая по одной оси: масштаб по большой полуоси равен a, по малой — b. При таком сжатии площадь любой части фигуры умножается на произведение полуосей a × b, поэтому в формуле стоит множитель a × b, а в скобках — площадь сегмента единичной окружности той же относительной высоты. Отсюда простое следствие: при h = 0 скобка обращается в ноль, ведь линия среза прошла через вершину.
Хорда — это линия среза
Хорда соединяет две точки на контуре эллипса и лежит на линии среза. Её длина нужна, когда сегмент — вырезаемая деталь: по хорде размечают рез, проверяют прилегание к прямой кромке и считают длину стыка или сварного шва. Для окружности хорду задают радиус и высота сегмента, у эллипса ширина среза зависит ещё и от сжатия, поэтому в формуле стоят обе полуоси.
Пример расчёта
a = 150 мм, b = 100 мм, высота среза h = 50 мм. Положение среза x = 1 − 50 / 150 = 0,6667, площадь сегмента S = 5 162,47 мм², длина хорды 149,07 мм, площадь остатка 41 961,42 мм². Сегмент и остаток дополняют друг друга до полной площади эллипса: 5 162,47 + 41 961,42 = 47 123,89 мм².
Граничные случаи
Срез через центр: при h = a = 150 мм отсекается ровно половина эллипса — 23 561,94 мм², а хорда совпадает с малой осью. При h = 2a = 300 мм линия среза касается противоположной вершины, хорда стягивается в точку, и формула возвращает площадь всего эллипса — 47 123,89 мм².
Чем это отличается от сегмента круга
У круга сегмент задают радиусом и центральным углом: одного радиуса достаточно, потому что кривизна всюду одинакова. У эллипса кривизна вдоль контура меняется, угол для каждой точки свой, поэтому сегмент задают полуосями и высотой от вершины. Формулы похожи, но вместо r² в них стоит произведение a × b, которое учитывает вытянутость фигуры. При a = b расчёт переходит в формулы сегмента круга.