Калькулятор правильного додекаэдра: объём и площадь
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Додекаэдры и гранёные корпуса — посчитаем металл
Калькулятор металла переведёт объём в массу по марке стали; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Возведите ребро в куб и умножьте на (15 + 7√5) / 4 ≈ 7,6631.
- Для площади умножьте a² на 3√(25 + 10√5) ≈ 20,6457.
- Радиусы найдите по формулам R = 1,4013a и r = 1,1135a.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Формулы додекаэдра
Объём правильного додекаэдра: V = (15 + 7√5) / 4 × a³. Коэффициент при кубе ребра равен (15 + 7√5) / 4 ≈ 7,6631. Площадь поверхности складывается из двенадцати пятиугольников: S = 3√(25 + 10√5) × a², то есть примерно 20,6457 × a².
Радиус описанной сферы — R = a√3(1 + √5) / 4, около 1,4013a. Радиус вписанной сферы — r = a√(250 + 110√5) / 20, или приблизительно 1,1135a. Отношение R / r ≈ 1,258 одинаково для любого ребра.
Двенадцать пятиугольников
У додекаэдра 12 граней-пятиугольников, 30 рёбер и 20 вершин; в каждой вершине сходятся три пятиугольника. Число рёбер пересчитывается как 12 × 5 / 2 = 30, число вершин — как 12 × 5 / 3 = 20. Формула Эйлера: В − Р + Г = 20 − 30 + 12 = 2.
В формулах додекаэдра участвует золотое сечение φ = (1 + √5) / 2 — оно связано с диагональю правильного пятиугольника. Додекаэдр двойственен икосаэдру: 12 граней одного соответствуют 12 вершинам другого, 20 вершин — 20 граням. Оба тела вписаны в сферу радиуса R и содержат вписанную сферу радиуса r. Куб — тоже Платоново тело, для него на сайте отдельный калькулятор.
Единицы измерения и литры
Ребро задаётся в миллиметрах, сантиметрах или метрах; калькулятор приводит его к одной единице. Объём возвращается в кубических единицах, площадь — в квадратных, радиусы — в линейных.
1 м³ = 1 000 л, а 1 л = 1 000 000 мм³. Для ребра 100 мм объём 7 663 118,96 мм³ равен примерно 7,66 л. Для сравнения, у октаэдра с ребром 100 мм объём составляет 471 404,52 мм³.
Где нужен расчёт
- Дизайн и архитектура — декоративные панели, светильники и объёмные модели на основе пятиугольников.
- Металлообработка — объём отливки или гранёного корпуса переводится в массу по плотности металла.
- 3D-печать — расход материала и площадь поверхности для моделей и игральных костей d12.
- Учёба — задачи на золотое сечение, двойственность и формулу Эйлера.
Примеры расчёта
Пример 1. Ребро a = 100 мм. Куб ребра равен 1 000 000 мм³. Умножаем на 7,6631: V = 7 663 118,96 мм³, или примерно 7,66 л.
Пример 2. При том же ребре S = 20,6457 × 10 000 = 206 457,29 мм². Радиусы: R = 140,126 мм, r = 111,352 мм.
Пример 3. Ребро увеличили вдвое, до 200 мм: объём вырос в 8 раз, площадь — в 4 раза, радиусы — в 2 раза. При ребре 50 мм объём будет в 8 раз меньше, чем при 100 мм.
Проверка расчёта
Формула Эйлера: 20 − 30 + 12 = 2. Отношение радиусов 140,126 / 111,352 ≈ 1,258 совпадает с указанным R / r. Для проверки объёма подходит формула V = 1/3 × S × r: 206 457,29 × 111,352 / 3 даёт то же значение с точностью до округления.
Двойственность с икосаэдром тоже служит контролем: у обоих тел 30 рёбер, а 12 граней додекаэдра соответствуют 12 вершинам икосаэдра. Если числа не сходятся, проверьте единицы и округление коэффициентов.