Калькулятор архимедовой спирали: длина и радиус
Сервис бесплатный, и мы развиваем его на энтузиазме. Отзыв мотивирует нас делать его удобнее и обновлять чаще 🙏
Спиральные детали — посчитаем металл и изготовим
Калькулятор металла переведёт длину и сечение в массу; лазерная резка вырежет заготовки.
Как посчитать вручную
Формула
Пошаговый расчёт
- Найдите параметр a: шаг разделите на 2π.
- Вычислите φ = 2πn — полный угол в радианах.
- Подставьте a и φ в формулу длины.
Пример
Есть идеи для новых функций или нашли ошибку? Напишите на forum@investsteel.ru — ваши предложения помогут сделать сервис лучше!
Уравнение архимедовой спирали
Архимедова спираль описывается уравнением r = a × φ, где φ — угол в радианах, a — постоянный коэффициент. Шаг t — расстояние между соседними витками — связан с коэффициентом: a = t / (2π).
Радиус растёт пропорционально углу, поэтому шаг остаётся постоянным на всей длине. После n полных витков угол равен φ = 2πn, а наружный радиус — R = n × t.
Длина спирали
Длина при полном угле φ = 2πn: L = a / 2 × (φ√(1 + φ²) + ln(φ + √(1 + φ²))). Формула получается интегрированием длины дуги и даёт точный результат, а не приближение по окружностям.
Длина последнего витка считается по той же первообразной, но пределы берутся от φ = 2π(n − 1) до φ = 2πn. Поэтому последний виток всегда короче всей спирали и длиннее любого предыдущего витка.
Единицы измерения
Шаг t задаётся в миллиметрах, параметр a получается в миллиметрах, длина L и радиус R — тоже в миллиметрах. Если шаг в сантиметрах, все линейные результаты — в сантиметрах. Угол φ безразмерный и выражается в радианах.
При переводе шага в другую единицу длина и радиус меняются пропорционально, а число витков остаётся прежним. Это удобно для проверки: при увеличении шага вдвое длина спирали и наружный радиус также удваиваются.
Где это нужно
- Плоские пружины — длина ленты или провода для изготовления спирального элемента.
- Спиральные накопители и транспортёры — расчёт длины направляющей при постоянном шаге.
- Намотка ленты — оценка длины материала при укладке витков с одинаковым расстоянием между ними.
Пример расчёта
Пример 1. n = 5 витков, t = 20 мм. Параметр a = t / (2π) = 3,1831 мм. Длина спирали: L = 1 578,18 мм. Наружный радиус: R = n × t = 100 мм.
Пример 2. Для тех же данных длина последнего витка — 565,84 мм. Она меньше общей длины 1 578,18 мм, что ожидаемо: последний виток составляет только часть спирали.
Проверка расчёта
Сначала проверьте наружный радиус: R = n × t = 5 × 20 = 100 мм. Затем параметр a: он должен равняться шагу, делённому на 2π. Если a получилось другого порядка, скорее всего, шаг введён в других единицах или перепутан с числом витков.
Контроль длины: последний виток 565,84 мм меньше общей длины 1 578,18 мм, а общая длина растёт пропорционально шагу при неизменном числе витков. Совпадение этих соотношений подтверждает, что расчёт выполнен верно.